Conditional propagation of chaos for mean field systems of interacting neurons
Propagation du chaos conditionnelle pour des systèmes de neurones en interaction en champ moyen
Abstract
We study the stochastic system of interacting neurons introduced in De Masi et al. (2015) and in Fournier and Löcherbach (2016) in a diffusive scaling. The system consists of N neurons, each spiking randomly with rate depending on its membrane potential. At its spiking time, the potential of the spiking neuron is reset to 0 and all other neurons receive an additional amount of potential which is a centred random variable of order $N^{-1/2}$. In between successive spikes, each neuron's potential follows a deterministic flow. We prove the convergence of the system, as N goes to infinity, to a limit nonlinear jumping stochastic differential equation driven by Poisson random measure and an additional Brownian motion W which is created by the central limit theorem. This Brownian motion is underlying each particle's motion and induces a common noise factor for all neurons in the limit system. Conditionally on W, the different neurons are independent in the limit system. We call this property conditional propagation of chaos. We show the convergence in distribution, prove strong convergence with respect to an appropriate distance, and we get an explicit rate of convergence. The main technical ingredient of our proof is the famous coupling introduced in Komlós, Major and Tusnády (1976) of the point process representing the small jumps of the particle system with the limit Brownian motion.
Nous étudions un système stochastique de neurones en interaction introduit dans De Masi et al. (2015) et dans Fournier et Löcherbach (2016) dans une normalisation diffusive. Le système est constitué de N neurones, chacun envoie des décharges aléatoirement avec un taux qui dépend de son potentiel de membrane. A chaque instant de décharge, le potentiel du neurone correspondant est réinitialisé à 0 et tous les autres neurones reçoivent une quantité de potentiel supplémentaire, qui est une variable aléatoire centrée de l'ordre de $N^{-1/2}$. Entre deux décharges successives, le potentiel de chaque neurone suit un flot déterministe. Nous prouvons que ce système converge, quand N tend vers l'infini, vers équation différentielle stochastique avec saut dirigée par un mesure de Poisson et un mouvement brownien W, qui est créé par le théorème central limite. Ce mouvement brownien régit les mouvements de toutes les particules, et crée un bruit commun à tous les neurones du système limite. Conditionnellement à W, les neurones sont indépendants dans le système limite. Nous appelons cette propriété propagation du chaos conditionnelle. Nous démontrons la convergence en loi, une convergence forte pour une distance appropriée, et nous obtenons une vitesse de convergence explicite. Le principal argument technique de notre preuve est le couplage introduit dans Komlós, Major and Tusnády (1976) entre le processus ponctuel représentant les petits sauts du système de particules et le mouvement brownien limite.
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